SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2012-01"];
<< betaCalculus.m

βSimplify = FullSimplify;

{
α1=W[1]+Sum[(Subscript[α, 10i+j]) ar[i,j], {i,3}, {j,3}],
(α1 // dm[1,2,1]) /. _c -> c,
(α1 // dm[1,2,1]) /. _c -> c-1,
(α1 // dm[1,2,1]) /. _c -> c+1
} // βCollect // βForm // ColumnForm

1-(((-1+c) (Subscript[α, 21]))/(1+(-1+c) ((Subscript[α, 11])+(Subscript[α, 21]))+(-1+c) (Subscript[α, 31]))) // Simplify

1-((c (Subscript[α, 21]))/(1+c ((Subscript[α, 11])+(Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 31])))) // Factor